MATH · UNIT 01

看懂直线的斜率和截距

能解释 y = kx + b 中 k 和 b 的意义，并从图像检查。

斜率表示变化关系

在 $y=kx+b$ 中，x 每增加 1，y 就增加 k。更一般地， $k=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ ，其中 $\Delta x\ne0$ 。k > 0 时从左向右上升；k < 0 时下降。

截距是 x = 0 时的输出

当 x = 0 时，y = b，所以图像与纵轴相交于 $(0,b)$ 。改变 b 会让直线上下移动，改变 k 则会改变倾斜程度。

区分两种特殊情况

k = 0 时， $y=b$ 是水平的常函数；按通常的中学定义，“一次函数”要求 k ≠ 0。竖线 $x=2$ 无法写成这样的 y 函数，因为一个 x 会对应多个 y。

WORKED EXAMPLE

一起算一个例子

直线经过 $(1,3)$ 、 $(3,7)$ ： $k=(7-3)/(3-1)=2$ 。代入一个点： $3=2\times1+b$ ，得到 b = 1。因此关系为 $y=2x+1$ 。

动手改变一条直线

拖动滑块，观察斜率、截距和点的位置。当前：y = 2x + 1

斜率 k2截距 b1输入 x1

输入 1 → 输出 3。x 每增加 1，y 增加 2。纵轴交点是 (0, 1)。

TRY IT YOURSELF

自己练一练

可分几次完成

先自己算，再核对。支持小数和分数，例如 3.5 或 7/2；结果允许少量四舍五入误差。

1. 直线经过 (0, 2) 和 (3, 8)，斜率 k 是多少？

需要一点提示

提示 1

计算 y 的变化量和 x 的变化量。

提示 2

k = (8 − 2) ÷ (3 − 0)。

查看完整解法

$k=6/3=2$ ，每向右 1 个单位，就向上 2 个单位。

2. 直线 y = −2x + b 经过 (1, 4)，b 是多少？

需要一点提示

提示 1

把 x = 1、y = 4 代入公式。

提示 2

4 = −2 + b，两边同时加 2。

查看完整解法

$b=6$ ，所以直线与纵轴相交于 $(0,6)$ 。

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用 Python 检查同一个关系

可在自己的 Python 环境运行，试着先预测输出。

k, b = 2, 1
for x in range(-2, 3):
    print(x, k * x + b)